В детстве Ласло Алмаши не отличался примерным поведением. В старших классах он на велосипеде сбил директора школы, за что и был отчислен. В те же годы он разбился на самодельном планере, но отделался лишь ушибами и легкими переломами. Ласло курил с 10 лет и быстро посадил себе легкие, из-за чего в 1910 году провел целый год в лечебном санатории в Швейцарии.
С 1911 по 1914 годы Ласло Алмаши получал техническое образование в Великобритании. Там он освоил английский язык, познакомился со скаутским движением и благодаря книгам известного британского путешественника Фредерика Селуса начал интересоваться Африкой. В 1914 году он купил свой первый самолет - подержанный Farman-III.
С началом Первой мировой войны Алмаши вошел в ряды Военно-воздушных сил Австро-Венгрии и служил в качестве летчика-разведчика на русском и итальянском фронтах.
Будучи убежденным монархистом, он поддерживал короля Карла во время интербеллума и принял участие в попытке возврата венгерского престола Габсбургам, получившую в историографии название «Пасхального кризиса». Однако в результате реставрация Габсбургов провалилась.
На высокий статус Алмаши указывает тот факт, что в апреле 1921 года он сопровождал короля Карла IV в одной из поездок в Венгрию. Но при этом в официальных документах и опубликованных книгах Алмаши перед его именем не фигурирует титул графа. Возможно, король Карл даровал ему неофициальный титул графа, который он использовал только за пределами Венгрии.
С 1922 по 1926 гг. Алмаши жил при епархии Сомбатхея, работал коммерческим представителем австрийской автомобильной компании «Штайр» (Steyr Automobile), в цветах которой выиграл множество автогонок.